Nhóm thương G / [ G , G ] {\displaystyle G/[G,G]} là một nhóm abel. Nó được gọi là abel hóa (abelianization) của nhóm G {\displaystyle G} , và thường được ký hiệu là G a b {\displaystyle G^{ab}}
Nếu H {\displaystyle H} là một nhóm con chuẩn tắc của G {\displaystyle G} , nhóm thương G / H {\displaystyle G/H} là nhóm abel khi và chỉ khi [ G , G ] ⊂ H {\displaystyle [G,G]\subset H} . (một cách trực giác, G / H {\displaystyle G/H} "hủy" các phần tử trong H {\displaystyle H} ; nếu ta muốn nó là Abel, nó phải hủy tất cả các giao hoán tử, tức là { [ x , y ] ∣ x , y ∈ G } {\displaystyle \{[x,y]\mid x,y\in G\}} phải là một tập con của H {\displaystyle H} , mà H {\displaystyle H} là một nhóm con, nên [ G , G ] ⊂ H {\displaystyle [G,G]\subset H} ).
Mọi đồng cấu nhóm f : G → A {\displaystyle f:G\to A} từ G {\displaystyle G} vào một nhóm abel A {\displaystyle A} đều phân tách qua G a b {\displaystyle G^{ab}} , tức là tồn tại g : G a b → A {\displaystyle g:G^{ab}\rightarrow A} sao cho g ∘ π = f {\displaystyle g\circ \pi =f} , với π : G → G a b {\displaystyle \pi :G\rightarrow G^{ab}} là phép chiếu chuẩn tắc.
